Saturday, June 09, 2007

Glancing the Prime Number Theorem (PNT)

昨晚因為頭暈又覺得有些煩,就到誠品書局逛逛。我特意翻了翻天下文化出版的的一本科普書:

質數魔力 (上、下)。(Prime Obsession - Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Author: John Derbyshire (中譯為德比‧夏爾))

為何會想翻這本書?因為日前讀到 Szemerédi's theorem 時,裡面有 upper and lower asymptotic density (或稱為 Natural density) 的概念 (定義可見 Wikipedia)。令 S = {1, ..., N} , N 為一個正整數。顯而易見,當 N 趨近於無限大, S 即為所有正整數的集合。Wikipedia 對於 natural density 給了一個例子:

N 趨近於無限大時,S 中質數的 natural density (or asymptotic density) 為 0。

言下之意,質數在正整數當中分佈得很稀鬆。因為這概念並不直覺,所以到了誠品書局,看到天下文化這本科普書,就順手拿來翻閱一下。沒想到想要證明正整數中質數的 natural density 還真不容易,因為我們必須要會估算 "小於 N 的正整數中質數的數目 "。雖然這比 Riemann zeta-hypothesis (看似)稍微簡單一點,但是同樣困擾了數學家很久 (直到 1896 年才被 Hadamard 與 de la Vallée Poussin 解出)。

那到底小於 N 的正整數中有多少質數呢?令所求為 π(N),則

π(N) is approximately N/log(N)


此即大名鼎鼎的 Prime Number Theorem (PNT) 。無怪乎正整數中質數的 natural density 為 0。這也說明我似乎誤解了 Luca Trevisan 某篇文章中的意思。

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